某剧院已售出的成人票与儿童票之比为 9∶4。演出当天又卖出 20 张成人票，儿童票没有再卖，此时两者之比变成 8∶3。问此前各卖出多少张，成人票一共卖了多少张？

Step-by-step solution

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   把第一个比例改写成只含一个未知数的表达式。 比例只固定了倍数关系，所以引入一个倍数 $k$：

   $\text{成人票}=9k,\qquad \text{儿童票}=4k.$

   如果设两个独立的未知数，方程个数就不够；正是这个倍数 $k$ 让一个方程足以解决问题。

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   写出加卖之后的情况。 只有成人票数发生变化：

   $\text{成人票}=9k+20,\qquad \text{儿童票}=4k.$

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   令新的比例等于 8∶3。

   $\frac{9k+20}{4k}=\frac{8}{3}.$

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   交叉相乘解出 k。

   $3(9k+20)=8(4k)\ \Longrightarrow\ 27k+60=32k\ \Longrightarrow\ 5k=60\ \Longrightarrow\ k=12.$

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   换算回实际票数。

   $\text{原来的成人票}=9(12)=108,\qquad \text{儿童票}=4(12)=48,$
   $\text{之后的成人票}=108+20=128.$

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   检验两个比例。 之前：$108:48$，两数同除以 $12$ 得 $9:4$ ✓。之后：$128:48$，两数同除以 $16$ 得 $8:3$ ✓。成人票占全部票的比例由 $\tfrac{9}{13}$ 升到 $\tfrac{8}{11}$，与"只增加成人票"这一条件相符。