若 f(x) = 2 − x²，g(x) = x² + 4x − 60，求 f − g 的定义域，结果用区间表示。

Step-by-step solution

1. 1

   先回忆函数作运算之后定义域的规则。 对 $f+g$、$f-g$、$fg$ 中的任何一个，定义域都是两个函数各自定义域的交集：

   $\operatorname{dom}(f-g)=\operatorname{dom}(f)\cap\operatorname{dom}(g)$

   （商 $f/g$ 是唯一的例外——它还要再去掉 $g$ 的零点。）

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   分别求出各自的定义域。 $f(x)=2-x^2$ 是多项式：它只用到实数的乘法和加法，既没有除以变量，也没有偶次根号。所以

   $\operatorname{dom}(f)=(-\infty,\infty)$

   同样的理由对 $g(x)=x^2+4x-60$ 也成立：

   $\operatorname{dom}(g)=(-\infty,\infty)$

3. 3

   把两个定义域取交集。

   $(-\infty,\infty)\cap(-\infty,\infty)=(-\infty,\infty)$

4. 4

   把差直接写出来再确认一次。 相减时要把负号分配到 $g$ 的每一项上：

   $(f-g)(x)=\left(2-x^2\right)-\left(x^2+4x-60\right)=-2x^2-4x+62$

   结果仍然是一个多项式，所以在整条实数轴上找不到任何一处会让它失去定义。

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   写出答案。 $f-g$ 的定义域是全体实数：

   $(-\infty,\infty)$

   $g$ 的零点——也就是 $x^2+4x-60=0$ 的解 $x=6$ 与 $x=-10$——在这里毫不相干；它们只有在讨论 $f/g$ 时才需要理会。