化简 (x + 2y)² − (x − 2y)²。

Step-by-step solution

1. 1

   认出这是平方差的形式。 两个完全平方用减号连接，总能分解成

   $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$

   在含两个字母时，这比直接展开安全得多 —— 展开时 $x^2$ 与 $4y^2$ 各项都有不少丢符号的机会。

2. 2

   给两个底数命名。

   $A = x + 2y, \qquad B = x - 2y$

   两个底数只有 $2y$ 项的符号不同，所以下面得到的两个因式里，一个只含 $y$，另一个只含 $x$。

3. 3

   算 A − B。

   $(x + 2y) - (x - 2y) = x + 2y - x + 2y = 4y$

   减去 $-2y$ 就变成加 $+2y$，$y$ 项是翻倍而不是抵消。

4. 4

   算 A + B 并把两个因式相乘。

   $(x + 2y) + (x - 2y) = 2x$

   $(x+2y)^2 - (x-2y)^2 = 4y \cdot 2x = 8xy$

5. 5

   用展开与数值抽查验证。 直接展开：

   $(x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 8xy$

   只有交叉项存活下来。取 $x = 3$、$y = 2$：$(3+4)^2 - (3-4)^2 = 49 - 1 = 48$，而 $8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$。