解方程 x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先试有理根定理，看着它失败。 首项系数为 1 的整系数三次方程，其有理根必定是常数项 $10800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$ 的整数因数。把靠谱的候选逐个代入：$f(10)=1700$，$f(12)=-1008$，$f(15)=-5400$，$f(20)=-13200$，$f(-15)=450$，$f(-20)=-12400$。没有一个为零，其余因数也是同样情形，所以既没有有理根，也无法在整数范围内分解——这个三次方程只能数值求解。

2. 2

   用变号把每个根定位出来。 刚才对 $f(x)=x^{3}-59x^{2}-420x+10800$ 算过的那些值，其实已经把每个根都框住了。因为 $f(-20)=-12400<0$ 而 $f(-15)=450>0$，$(-20,-15)$ 内必有一根。因为 $f(11)=372>0$ 而 $f(12)=-1008<0$，$(11,12)$ 内有第二个根。又因为 $f(62)=-3708<0$ 而 $f(63)=216>0$，第三个根落在 $(62,63)$ 内。三次方程出现三次变号，说明三个根都是实的，而且互不相同。

3. 3

   在每个区间里用牛顿法细化。 取 $f'(x)=3x^{2}-118x-420$，从每个区间的中点出发迭代 $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$，几步之内就收敛到 $x_{1}=-15.219737190,\qquad x_{2}=11.273122422,\qquad x_{3}=62.946614768.$ 导数在每个根处都离零很远（分别是 $2070.85$、$-1368.98$ 和 $4039.13$），所以牛顿法收敛得很干净。

4. 4

   韦达定理的三条关系一起用，别只验和。 对 $x^{3}+ax^{2}+bx+c$，三个根满足 $\sum r_{i}=-a$、$\sum_{i<j}r_{i}r_{j}=b$、$r_{1}r_{2}r_{3}=-c$。我们求出的值给出 $\sum r_{i}=59.000000,\qquad \sum_{i<j}r_{i}r_{j}=-420.000000,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-10800.000000,$ 与 $59$、$-420$、$-10800$ 完全吻合。只验和是不够的——一组错的根照样可能加出正确的和，而乘积却差得离谱。

5. 5

   写出答案。 $x\approx -15.219737,\qquad x\approx 11.273122,\qquad x\approx 62.946615.$ 三个根相差这么悬殊，正是系数所预示的：主导项 $x^{3}-59x^{2}$ 把一个根推到 $60$ 开外，而很大的常数项 $10800$ 又把另外两个根按在相对小的范围里。