解不等式 x² − ax + 1 < 0，其中 a 是任意实参数。

Step-by-step solution

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   动笔算之前先看几何。 记 $f(x)=x^2-ax+1$。二次项系数是 $1>0$，所以图象是开口向上的抛物线。开口向上的抛物线要想沉到 $x$ 轴以下，必须真的与横轴相交两次。于是整道题就归结为：$a$ 取什么值时 $f$ 有两个互不相等的实根，以及这两个根在哪里？

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   算判别式。 取 $A=1$、$B=-a$、$C=1$：

   $\Delta=B^2-4AC=(-a)^2-4(1)(1)=a^2-4$

   有两个互不相等的实根要求 $\Delta>0$，即 $a^2>4$，即 $|a|>2$——也就是 $a<-2$ 或 $a>2$。

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   先把无解的情形处理掉。 若 $-2\le a\le2$，则 $\Delta\le0$。当 $\Delta<0$ 时抛物线完全碰不到横轴，$f(x)>0$ 处处成立；当 $\Delta=0$（即 $a=\pm2$）时它与横轴相切于一点，那里 $f=0$，仍然不满足严格的不等号。所以

   $-2\le a\le2\ \Longrightarrow\ \text{无解}\ (\varnothing)$

   比如 $a=2$ 时 $f(x)=(x-1)^2\ge0$——永远不为负。

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   当 |a| > 2 时求出两根。 由求根公式，

   $x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}$

   于是 $x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}$、$x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$，且 $x_1<x_2$，因为 $\sqrt{a^2-4}>0$。

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   取两根之间的区间。 开口向上的抛物线恰好在两根之间为负，所以当 $|a|>2$ 时：

   $\frac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}<x<\frac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}$

   $a>2$ 和 $a<-2$ 这两种情形都由同一个式子覆盖，负的那一支不需要另外再算一遍。

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   指出一个值得一提的结构性事实。 两根之积等于 $\tfrac{C}{A}=1$，所以恒有 $x_1x_2=1$。因此两根互为倒数且同号：$a>2$ 时都为正，$a<-2$ 时都为负。于是解区间永远不包含 $0$，这与 $f(0)=1>0$ 正好吻合。

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   分情形做数值验证。 对每个 $a\in\{-5,-2.5,-2,-1,0,1,2,2.5,7\}$，在 $[-20,20]$ 上取 $4001$ 个点求 $f$ 的值，把符号与预测的解集逐点比对，结果一处不符都没有；而且只要 $|a|>2$，两个根处都在 $10^{-9}$ 的精度内算出 $f=0$ ✓。