解不等式 (7x − 1)/(3x − 2) < 4，并说明每一步变形的理由。

Step-by-step solution

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   千万不要两边同乘 3x − 2。 当 $x>\tfrac23$ 时 $3x-2$ 为正，当 $x<\tfrac23$ 时它为负。拿一个符号未知的式子去乘不等式是不合法的 —— 它会在数轴的一段上保持方向、在另一段上把方向翻过来。稳妥的做法是把所有东西移到一边，与零比较。

2. 2

   两边同减 4。 加减一个常数永远是合法的：

   $\frac{7x-1}{3x-2}-4<0$

3. 3

   通分成一个分式。 把 $4$ 写成 $\dfrac{4(3x-2)}{3x-2}$：

   $\frac{7x-1-4(3x-2)}{3x-2}=\frac{7x-1-12x+8}{3x-2}=\frac{7-5x}{3x-2}<0$

4. 4

   找出临界点。 分子在 $7-5x=0$ 即 $x=\tfrac75$ 处为零；分母在 $x=\tfrac23$ 处为零。这两点把数轴分成 $\left(-\infty,\tfrac23\right)$、$\left(\tfrac23,\tfrac75\right)$ 和 $\left(\tfrac75,\infty\right)$。

5. 5

   每个区间取一个点试符号。

   $x=0$：$\dfrac{7}{-2}<0$ ✓

   $x=1$：$\dfrac{2}{1}=2>0$ ✗

   $x=2$：$\dfrac{-3}{4}<0$ ✓

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   拼出解集，并逐个决定端点取舍。 不等号是严格的，所以 $x=\tfrac75$（分式为 $0$ 处）要排除；$x=\tfrac23$ 也要排除，因为在那里原式没有定义：

   $\boxed{x<\dfrac23\quad\text{或}\quad x>\dfrac75}$

7. 7

   回到原不等式核对。 取 $x=0$：$\tfrac{-1}{-2}=0.5<4$ ✓。取 $x=1$：$\tfrac{6}{1}=6\not<4$ ✗。取 $x=2$：$\tfrac{13}{4}=3.25<4$ ✓。注意如果贸然交叉相乘，会得到 $7x-1<12x-8$ 即 $x>\tfrac75$ —— 在其中一支上是对的，却把整个区间 $x<\tfrac23$ 漏掉了，正如第 1 步所警告的那样。