函数 f(x) = |x + 2| − 3 先关于 x 轴翻折，再向下平移 2 个单位。写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   先读出原来的顶点。 $f(x)=|x+2|-3$ 开口向上，顶点是 $(-2,-3)$；它与 $x$ 轴有两个交点，在 $|x+2|=3$ 处，也就是 $x=-5$ 和 $x=1$。

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   关于 $x$ 轴翻折：整体取相反数。 每个函数值都要变号，所以右边整体前面加一个负号：

   $-f(x)=-\left(|x+2|-3\right)=-|x+2|+3$

   常数项从 $-3$ 翻成了 $+3$。把这个负号正确地乘进两项里，就是这道题唯一的难点。

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   再向下平移 2 个单位。 在翻折后的函数上减 $2$：

   $-|x+2|+3-2=-|x+2|+1$

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   最终解析式及其形状。

   $f(x)=-|x+2|+1,\qquad \text{顶点为 }(-2,1),\ \text{开口向下}$

   顶点在翻折后从 $(-2,-3)$ 变到 $(-2,3)$，再下移 $2$ 到 $(-2,1)$。

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   用点和截距验证。 原来的点 $(0,-1)$ 翻折成 $(0,1)$，再平移回 $(0,-1)$；而解析式算出 $-|0+2|+1=-2+1=-1\;\checkmark$。新的 $x$ 轴交点满足 $|x+2|=1$，即 $x=-3$ 和 $x=-1$——两个根从 $\{-5,1\}$ 向内收拢了，这与「开口向下、顶点只比横轴高 $1$ 个单位的 V 形」正好相符。