三个三角形的九个内角依次是 n1, n2, ..., n9 度，它们是正整数且构成公差为正的等差数列。若其中一个角是 78 度，求 n1 所有可能取值之和。

Step-by-step solution

1. 1

   用内角总和把中间项定下来。 三个三角形一共贡献 $3\times 180=540$ 度。对九项的等差数列来说，总和等于中间项的九倍：

   $\sum_{i=1}^{9}n_i=9n_5=540\quad\Longrightarrow\quad n_5=60.$

   所以不管 $d$ 取多少，这个数列都以 $60$ 为中心：$n_i=60+(i-5)d$。

2. 2

   把「有一个角是 78 度」这个条件转成整除条件。 若 $n_k=78$，则

   $60+(k-5)d=78\quad\Longrightarrow\quad (k-5)d=18.$

   因为 $d>0$，必有 $k>5$，于是 $k-5\in\{1,2,3,4\}$，且 $d=\dfrac{18}{k-5}$ 要是正整数。只有 $k-5=1,2,3$ 能整除 $18$，得到

   $d=18,\ 9,\ 6.$

3. 3

   排除会让某个角不为正的情形。 首项是 $n_1=60-4d$：

   $d=18\Rightarrow n_1=-12\ (\text{舍去}),\qquad d=9\Rightarrow n_1=24,\qquad d=6\Rightarrow n_1=36.$

   最大的项是 $n_9=60+4d$，分别为 $96$ 和 $84$——都小于 $180$，所以每个角都是合法的三角形内角。

4. 4

   确认这九个角真的能凑成三个三角形。 记 $n_i=60+(i-5)d$，偏移量依次是 $-4,-3,\ldots,4$。把它们分成 $\{-4,0,4\}$、$\{-3,1,2\}$ 和 $\{-2,-1,3\}$ 三组，每组偏移量之和都是零，于是每组三个角之和都是 $3\times 60=180$。这样的分组对任何 $d$ 都存在，所以这个条件不带来新的限制。

5. 5

   把留下来的两个数列都检查一遍。

   $d=6:\ 36,42,48,54,60,66,72,\mathbf{78},84$
   $d=9:\ 24,33,42,51,60,69,\mathbf{78},87,96$

   两个数列都含有 $78$，都严格递增，且各项都是正整数。

6. 6

   把可能的首项加起来。

   $24+36=60.$

   对所有可行公差做一遍穷举搜索，确认就只有这两种情形。