解不等式 √(3x − 1) > 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   先求定义域。 根号里的式子必须非负：

   $3x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac13$

   后面所有讨论都限制在 $x\ge\tfrac13$ 上。

2. 2

   检查右边有没有可能为负。 只有两边都非负时，平方这一步才是可逆的。在定义域上 $x\ge\tfrac13>0$，所以 $2x>0$，两边都是正数，平方是一个有效的等价变形 —— 不需要分情况讨论。

3. 3

   两边平方。

   $3x-1>4x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0>4x^{2}-3x+1$

4. 4

   检验这个二次式能否取负值。 它的判别式是

   $(-3)^{2}-4(4)(1)=9-16=-7<0$

   而它的二次项系数 $4$ 是正的，所以对每一个实数 $x$ 都有 $4x^{2}-3x+1>0$。因此所需的不等式 $4x^{2}-3x+1<0$ 根本没有解。

5. 5

   得出结论。

   $\boxed{\text{无解：解集为空集}}$

6. 6

   取几个点验证，并看清原因。 当 $x=\tfrac13$：$\sqrt0=0$ 对 $\tfrac23$ —— 左边输了。当 $x=\tfrac12$：$\sqrt{0.5}=0.707$ 对 $1$ —— 还是输。当 $x=1$：$\sqrt2=1.414$ 对 $2$ —— 依然输。在整个定义域上，直线 $2x$ 都比 $\sqrt{3x-1}$ 长得更快；而上面那次判别式计算说明，即使在两者最接近的地方（在 $x=\tfrac{25}{48}$ 附近，那里差距最小但仍为正），直线也严格在上方。