已知 f(x) = 4x − 7，g(x) = 8x² − 2x − 3，h(x) = 4x³ + 9x − 2，求 (g∘f)(x)、(h∘f)(2) 和 (f∘h)(x)。

Step-by-step solution

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   先把记号约定钉死。 $(g \circ f)(x)$ 表示 $g(f(x))$：右边那个函数先作用。次序反过来一般会得到不同的结果，这里 $(f \circ g)(x) = 32x^2 - 8x - 19$，和 (a) 完全不是一回事。

2. 2

   (a)：把 f 代进 g。 把 $g$ 里每一个 $x$ 都替换成 $4x-7$：

   $g(f(x)) = 8(4x-7)^2 - 2(4x-7) - 3$

   由 $(4x-7)^2 = 16x^2 - 56x + 49$ 得：

   $= 128x^2 - 448x + 392 - 8x + 14 - 3 = 128x^2 - 456x + 403$

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   (b)：先把里面的数算出来。 求一个具体点上的复合值，完全不必先推出一般表达式：

   $f(2) = 4(2) - 7 = 1, \qquad h(1) = 4(1)^3 + 9(1) - 2 = 11$

   所以 $(h \circ f)(2) = 11$。要是先做符号复合，就得白白去展开 $(4x-7)^3$。

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   (c)：把 h 代进 f。 因为 $f$ 是一次函数，这个复合特别省事——无非是先伸缩再平移：

   $f(h(x)) = 4\left(4x^3 + 9x - 2\right) - 7 = 16x^3 + 36x - 8 - 7 = 16x^3 + 36x - 15$

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   代数字核对结果。 取 $x = 1.7$：$f(1.7) = -0.2$，$g(-0.2) = 0.32 + 0.4 - 3 = -2.28$，而公式给出 $128(2.89) - 456(1.7) + 403 = -2.28$。(c) 取 $x = -2.3$：$h(-2.3) = -71.368$，$f(-71.368) = -292.472$，而 $16(-12.167) + 36(-2.3) - 15 = -292.472$。两处都对得上。

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   顺便记住次数的规律。 $m$ 次多项式与 $n$ 次多项式复合，结果是 $mn$ 次：$g \circ f$ 是 $2 \times 1 = 2$ 次，$f \circ h$ 是 $1 \times 3 = 3$ 次，与上面算出的结果吻合。