解不等式 (x − 1)/2 < (7x + 2)/5，并用区间表示解集。

Step-by-step solution

1. 1

   两边同乘最小公分母，动手前先看它的符号。 分母 $2$ 和 $5$ 的最小公分母是 $10$。因为 $10>0$，两边同乘之后不等号方向不变——只有乘或除以负数时方向才会翻转：

   $10\cdot\frac{x-1}{2}<10\cdot\frac{7x+2}{5}\;\Longrightarrow\;5(x-1)<2(7x+2).$

2. 2

   把两个乘积都展开。 仔细分配：

   $5(x-1)=5x-5,\qquad 2(7x+2)=14x+4,$

   于是不等式变成

   $5x-5<14x+4.$

   不写出乘 10 这一步而直接「交叉相乘」，最容易把分子和分母配错；把乘 10 明确写出来就能避免这类错误。

3. 3

   把含 $x$ 的项移到系数较大的那一边。 两边同时减去 $5x$，可以让 $x$ 的系数保持为正：

   $-5<9x+4.$

   另一种做法是减去 $14x$，那样会得到 $-9x-5<4$，接着必须除以 $-9$ 并记得翻号。选择不产生负系数的方向，等于直接消灭了一整类错误。

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   把 $x$ 单独解出来。 两边减 $4$，再除以正数 $9$：

   $-9<9x\;\Longrightarrow\;-1<x,\qquad\text{也就是}\qquad x>-1.$

   用区间表示，解集是 $(-1,\infty)$；因为原不等式是严格不等，端点要排除。

5. 5

   在边界附近验算。 取 $x=-0.9$：左边 $=\frac{-1.9}{2}=-0.95$，右边 $=\frac{-4.3}{5}=-0.86$，确有 $-0.95<-0.86$ ✓。取 $x=-1.1$：左边 $=-1.05$，右边 $=\frac{-5.7}{5}=-1.14$，不等式不成立 ✓。而在 $x=-1$ 处两边都等于 $-1$，正好印证这就是边界。