解方程 2x = 2^x。

Step-by-step solution

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   先试小的整数。 方程里一次项和指数项混在一起，任何代数变形都没法把 $x$ 分离出来。代入整数看看：

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{且}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{且}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   两个都是精确解 ✓。接下来的问题是：还有没有别的解？

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   改写成一个函数。 令

   $f(x)=2^{x}-2x$

   原方程的解就是 $f$ 的零点。我们已经知道 $f(1)=0$ 和 $f(2)=0$。

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   用凸性给根的个数设上限。 函数 $2^{x}$ 是凸的 —— 它的二阶导数 $(\ln2)^{2}2^{x}$ 处处为正 —— 而 $2x$ 是一条直线。一条直线与严格凸的曲线最多相交两次。既然两个交点已经在手，就不可能再有别的了。

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   取样确认图像的走势。 $f(0)=1-0=1>0$，$f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$，$f(3)=8-6=2>0$ ✓。正、负、正这个走势说明 $f$ 恰好在 $x=1$ 与 $x=2$ 之间跌到零以下，在这段之外始终为正 —— 正好两次变号，因此恰好两个根。

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   写出完整解。

   $x=1\qquad\text{或}\qquad x=2$

   这个结果特殊在哪里值得体会：对任何底数 $b$，$x=1$ 都是 $b^{x}=bx$ 的解——两边都等于 $b$。真正让底数 $2$ 与众不同的是第二个交点：$b^{2}=2b$ 只能解出 $b=2$，所以别的底数都配不出整数解。比如 $b=3$ 时第二个根是无理数 $x\approx 0.826018$。