求方程 (5x - 8)^2 - 25x^2 = 0 的根。

Step-by-step solution

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   先把平方展开。

   $(5x-8)^2 = 25x^2 - 80x + 64$

   于是方程成了 $25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 = 0$。

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   看着二次项抵消掉。 $25x^2 - 25x^2 = 0$，剩下

   $-80x + 64 = 0$

   这个方程只是看着像二次；因为两个平方项的系数都是 $25$，它其实是一次的，恰好有一个根，而不是两个。

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   解这个一次方程。

   $80x = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0.8$

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   换平方差公式的路子复核。 不展开而是直接分解：

   $(5x-8)^2 - (5x)^2 = \left[(5x-8) - 5x\right]\left[(5x-8) + 5x\right] = (-8)(10x - 8)$

   要它等于零就必须 $10x - 8 = 0$，即 $x = 0.8$ —— 常数因子 $-8$ 永远不可能为零，这也是「只有一个根」的另一种看法。

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   验证。 取 $x = 0.8$：$(4 - 8)^2 - 25(0.64) = 16 - 16 = 0$。正确。