用综合除法计算 x³ − 4x + 5 除以 x − 2，写出商和余数。

Step-by-step solution

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   动手之前先把缺项补上。 被除式里没有 $x^2$ 项，所以要写成

   $x^3+0\cdot x^2-4x+5\;\Longrightarrow\; 1,\;0,\;-4,\;5$

   三次式的系数行一定要有四个数。漏掉这个 $0$，表格算的就是另一个多项式的除法了。

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   先用余数定理预测余数。 除式是 $x-2$，所以 $c=2$；除法的余数必然等于多项式在该点的取值：

   $f(2)=2^3-4(2)+5=8-8+5=5$

   可见余数应该是非零的 $5$，也就是说 $x-2$ 不是因式。

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   取 $c=2$ 列表运算。

   $\begin{array}{r|rrrr}2 & 1 & 0 & -4 & 5\\ & & 2 & 4 & 0\\ \hline & 1 & 2 & 0 & 5\end{array}$

   先把 $1$ 落下来；$1\cdot 2=2$，$0+2=2$；$2\cdot 2=4$，$-4+4=0$；$0\cdot 2=0$，$5+0=5$。预测的余数 $5$ 果然出现在最后一列。

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   把末行翻译成商。 $1,\,2,\,0$ 正是一个二次式的系数：

   $\text{商}=x^2+2x+0=x^2+2x=x(x+2),\qquad \text{余数}=5$

   末位那个 $0$ 说明商没有常数项，这也正是它能分解得这么干净的原因。

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   写出并验证带余除法等式。

   $\frac{x^3-4x+5}{x-2}=x^2+2x+\frac{5}{x-2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-4x+5=(x-2)(x^2+2x)+5$

   把乘积展开：$(x-2)(x^2+2x)=x^3+2x^2-2x^2-4x=x^3-4x$，再加上 $5$ 就还原成被除式 $\checkmark$。余数不为零，说明 $x=2$ 不是 $x^3-4x+5$ 的根。