因式分解 6x² − 7ax + 2a² − 6x + 5a − 12。

Step-by-step solution

1. 1

   把 a 当成第二个字母来看。 这个式子对 $x$ 是二次的，对 $a$ 也是二次的，而且两个字母合起来没有次数超过 $2$ 的项，所以它有希望分解成两个关于 $x$ 和 $a$ 的一次因式之积。

2. 2

   先分解二次部分。

   $6x^{2}-7ax+2a^{2}=(3x-2a)(2x-a)$

   （核对交叉项：$3x\cdot(-a)+(-2a)\cdot 2x=-3ax-4ax=-7ax$。✓）

3. 3

   引入待定的常数。 完整的分解式必然形如

   $(3x-2a+p)(2x-a+q),\qquad pq=-12$

4. 4

   让 x 和 a 的系数对上。 乘开后 $x$ 的系数是 $3q+2p$，$a$ 的系数是 $-2q-p$。目标值分别是 $-6$ 和 $+5$：

   $3q+2p=-6,\qquad -2q-p=5$

5. 5

   解出 p 和 q。 由第二个方程得 $p=-5-2q$；代入第一个方程：$3q-10-4q=-6$，于是 $-q=4$，即 $q=-4$，$p=3$。两者也满足 $pq=3(-4)=-12$。✓

   $\boxed{(3x-2a+3)(2x-a-4)}$

6. 6

   最后乘开检验。 $(3x-2a+3)(2x-a-4)=6x^2-3ax-12x-4ax+2a^2+8a+6x-3a-12=6x^2-7ax+2a^2-6x+5a-12$。✓