解不等式 x/3 > 4 − (x − 2)/2，并用区间表示解集。

Step-by-step solution

1. 1

   先化简右边，再谈移项。 减号作用于整个分数，所以先把它拆开：

   $\frac{x-2}{2}=\frac{x}{2}-1,$

   于是

   $4-\frac{x-2}{2}=4-\left(\frac{x}{2}-1\right)=4-\frac{x}{2}+1=5-\frac{x}{2}.$

   典型的错误是写成 $4-\frac{x}{2}-1=3-\frac{x}{2}$：前面那个减号必须也管到 $-1$，把它变成 $+1$。

2. 2

   用化简后的右边重写不等式。 现在的问题是

   $\frac{x}{3}>5-\frac{x}{2}.$

   两个含 $x$ 的项分母都很简单，所以把它们合并起来最省事，不必一上来就两边同乘 $6$——两条路都行，但合并能让数字保持小。

3. 3

   把含 $x$ 的项合并到左边。 两边同加 $\frac{x}{2}$，通分到公分母 $6$：

   $\frac{x}{3}+\frac{x}{2}=\frac{2x}{6}+\frac{3x}{6}=\frac{5x}{6},$

   于是不等式变成

   $\frac{5x}{6}>5.$

   两边同加一项永远不会改变不等号的方向，所以 $>$ 原封不动。

4. 4

   除以正的系数。 两边同乘 $\tfrac{6}{5}$（是正数，所以不等号不变向）：

   $x>5\cdot\frac{6}{5}=6.$

   用区间表示，解集是 $(6,\infty)$；因为不等号是严格的，$6$ 不包含在内。

5. 5

   在分界点两侧各试一个值。 取 $x=6.1$：左边 $=2.0333$，右边 $=4-\frac{4.1}{2}=1.95$，而 $2.0333>1.95$ ✓。取 $x=5.9$：左边 $=1.9667$，右边 $=4-1.95=2.05$，不等式不成立 ✓。恰好取 $x=6$ 时两边都等于 $2$，这确认了 $6$ 是分界点，并且被正确地排除在外。