把 x³ + 3x² − 4x − 12 分解到不能再分。

Step-by-step solution

1. 1

   四项的三次式，优先想到分组。 四项没有公共的因式，那就两两分成一组，指望每组提完公因式后剩下同一个二项式。这道题正好就是这种情况。

2. 2

   分组，并各自提取公因式。

   $\left(x^3+3x^2\right)+\left(-4x-12\right)=x^2(x+3)-4(x+3)$

   第二组要提 $-4$ 而不是 $+4$，两个括号才会一样；提 $+4$ 的话剩下的是 $(-x-3)$。

3. 3

   把公共的二项式提出来。

   $x^2(x+3)-4(x+3)=(x+3)\left(x^2-4\right)$

4. 4

   再用平方差公式收尾。 因为 $x^2-4=x^2-2^2$：

   $x^2-4=(x-2)(x+2)$

   所以

   $x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x-2)(x+2)$

   这道题最常见的失分点，就是停在 $(x+3)(x^2-4)$ 不往下做了。

5. 5

   顺手读出它的根。 式子在 $x=-3,\ 2,\ -2$ 处为零——三个互不相同的实根，三次式的根正好都在这里了。

6. 6

   展开验证。 把原式与这三个因式的乘积在 $-30$ 到 $29$ 的每个整数上比较，结果完全一致 ✓。抽查 $x=1$：$1+3-4-12=-12$，而 $(4)(-1)(3)=-12$ ✓。