一元二次方程 ax² + bx + c = 0 满足 a − 2b + 4c = 0，且有两个相等的实根。下列结论中哪一个正确：a = b、a = c、b = c，还是 c = 4a？

Step-by-step solution

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   先把「两个相等的实根」翻译成代数条件。 一元二次方程有重根，当且仅当判别式为零：

   $\Delta=b^2-4ac=0\ \Longrightarrow\ b^2=4ac$

   （这里隐含 $a\neq 0$，否则它根本不是二次方程。）

2. 2

   把已知的线性关系变形，单独解出 $b$。 由 $a-2b+4c=0$ 得

   $2b=a+4c\ \Longrightarrow\ b=\frac{a+4c}{2}$

   $b$ 前面那个系数 $2$ 本身就是提示：这道题要消掉的正是 $b$。

3. 3

   代入判别式条件。

   $\left(\frac{a+4c}{2}\right)^2=4ac$

   两边同乘 $4$：

   $(a+4c)^2=16ac$

4. 4

   展开，认出一个完全平方。

   $a^2+8ac+16c^2=16ac$

   $a^2-8ac+16c^2=0$

   $(a-4c)^2=0\ \Longrightarrow\ a=4c$

5. 5

   再往前推一步，凑到给出的选项上。 $a=4c$ 并不在选项之列，所以把它代回 $2b=a+4c$：

   $2b=4c+4c=8c\ \Longrightarrow\ b=4c$

   既然 $a=4c$ 且 $b=4c$，就得到 $a=b$——即选项 (A)。

6. 6

   用一个具体例子验证。 取 $c=1$，则 $a=b=4$，方程是 $4x^2+4x+1=0$。它的判别式为 $4^2-4(4)(1)=16-16=0$ $\checkmark$（重根 $x=-\tfrac12$），而附加条件给出 $4-2(4)+4(1)=4-8+4=0$ $\checkmark$。另外注意，选项 D 的 $c=4a$ 在这里会读成 $1=16$，显然不成立——正确的关系是反过来的 $a=4c$。