若 (x + 4)(x² − 4x + 16) − x(x + 5)(x − 5) = 264，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   认出第一个乘积是立方和。 公式 $a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)$ 在 $a=x$、$b=4$ 时正好对上，因为 $a^2-ab+b^2=x^2-4x+16$：

   $(x+4)\left(x^2-4x+16\right)=x^3+64$

   硬乘开也能做，但容易出符号错误；认出这个公式，后面的抵消一眼就能看见。

2. 2

   认出第二个乘积是平方差。

   $(x+5)(x-5)=x^2-25\;\Longrightarrow\;x(x+5)(x-5)=x^3-25x$

3. 3

   都代进去，看三次项抵消。

   $\left(x^3+64\right)-\left(x^3-25x\right)=25x+64$

   $x^3$ 这两项完全消失，所以看着像三次方程的东西其实是一次的——这就是整道题的设计意图。

4. 4

   解这个一次方程。

   $25x+64=264\;\Longrightarrow\;25x=200\;\Longrightarrow\;x=8$

5. 5

   代回原式检验。 取 $x=8$：第一个乘积是 $12\left(64-32+16\right)=12\cdot 48=576$，第二个是 $8\cdot 13\cdot 3=312$。于是

   $576-312=264\;\checkmark$

   这道题值得把检验完整做一遍，因为三次项抵消这类步骤最容易藏住一处算术疏漏。