已知 f(x) = 5x + 2，g(x) = x − 6，求 (f + g)(x) 并指出它的定义域。

Step-by-step solution

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   先写清楚两个函数之间的加号是什么意思。 函数相加是逐点定义的：对每个输入 $x$，分别代入两个解析式，再把输出相加。用符号写就是

   $(f+g)(x)=f(x)+g(x).$

   这里没有什么新运算要学——要做的只是把两个公式代进去。

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   把两个解析式代入，各自加上括号。 一旦后面出现减法，括号就至关重要，所以现在就把这个习惯养成：

   $(f+g)(x)=(5x+2)+(x-6).$

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   去掉括号并把同类项分组。 因为每个括号前面都是加号，没有任何一项变号：

   $(5x+2)+(x-6)=\underbrace{5x+x}_{\text{x 项}}+\underbrace{2-6}_{\text{常数项}}.$

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   逐组合并。 $x$ 的系数是 $5+1=6$，常数项给出 $2-6=-4$：

   $(f+g)(x)=6x-4.$

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   定义域要从两个原函数看，而不是从结果式看。 和函数恰好定义在两个原函数都有定义的地方。$f$ 与 $g$ 都是多项式函数，对每个实数都有定义，所以

   $\text{定义域}(f+g)=(-\infty,\infty).$

   这个顺序很关键：像 $f/g$ 这样的商，化简后的式子可能会掩盖某个仍须排除的值，所以定义域必须从原来的各部分读出来。