解方程 −4.3289x² − 0.9671x + 40.328 = 0，并用韦达定理验证答案。

Step-by-step solution

1. 1

   读出系数，并先预判形状。

   $a=-4.3289,\qquad b=-0.9671,\qquad c=40.328$

   由于 $a<0$ 而 $c>0$，这条开口向下的抛物线在原点两侧各穿过一次坐标轴，所以应当有一个负根和一个正根。

2. 2

   算判别式。

   $\Delta=(-0.9671)^2-4(-4.3289)(40.328)=0.935282+698.303517=699.238799$

   $\sqrt{\Delta}=26.443124$

3. 3

   代入求根公式。

   $x=\frac{0.9671\pm 26.443124}{2(-4.3289)}=\frac{0.9671\pm 26.443124}{-8.6578}$

   $x_1=\frac{0.9671+26.443124}{-8.6578}=-3.16596,\qquad x_2=\frac{0.9671-26.443124}{-8.6578}=2.94255$

4. 4

   用两根之和验证。 韦达定理第一式说 $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$：

   $-\frac{-0.9671}{-4.3289}=-0.223405,\qquad -3.16596+2.94255=-0.22341\;\checkmark$

5. 5

   用两根之积验证。 韦达定理第二式说 $x_1x_2=\tfrac{c}{a}$：

   $\frac{40.328}{-4.3289}=-9.3159925,\qquad (-3.16596)(2.94255)=-9.3159956$

   两者已经在六位有效数字上吻合；第七位的差别不过是把根四舍五入到五位小数带来的，多带几位（$-3.1659572$ 与 $2.9425517$）就能把乘积收紧到 $-9.3159927$ $\checkmark$。这两条韦达检验合在一起，不用重跑求根公式就把两个根都钉住了。