解不等式 (x − 1)(x − 3) > 0。

Step-by-step solution

1. 1

   充分利用式子已经是因式形式这一点。 两个实数的乘积为正，当且仅当两个因式同号，所以不必展开，只需要知道每个因式在哪里变号。

2. 2

   求出临界点。 令每个因式等于零：

   $x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad x-3=0\Rightarrow x=3$

   这两个值把数轴切成三个待检验的区间：$(-\infty,1)$、$(1,3)$ 和 $(3,\infty)$。

3. 3

   列出符号表。 在每个区间里取一个检验值，记录每个因式的符号：

   区间	$x-1$	$x-3$	乘积
   $(-\infty,1)$，如 $x=0$	$-$	$-$	$+$
   $(1,3)$，如 $x=2$	$+$	$-$	$-$
   $(3,\infty)$，如 $x=4$	$+$	$+$	$+$

   代入检验值得到 $(0-1)(0-3)=3$、$(2-1)(2-3)=-1$ 和 $(4-1)(4-3)=3$，与最后一列吻合。

4. 4

   挑出符合不等号方向的区间。 我们要的是乘积大于零，所以取两行 $+$：

   $x<1\quad\text{或}\quad x>3$

5. 5

   判断端点取不取。 不等式是严格的（$>0$ 而不是 $\ge 0$），而在 $x=1$ 和 $x=3$ 处乘积等于 $0$。所以两个根都要排除，区间都是开的：

   $(-\infty,1)\cup(3,\infty)$

6. 6

   用抛物线再核对一遍。 展开得 $y=x^{2}-4x+3$，这是开口向上的抛物线，顶点在 $x=2$、$y=-1$ 处。开口向上的抛物线在两根之外位于 x 轴上方——正是我们得到的答案。