对 f(x) = sqrt(5x + 1)，求差商 (f(x+h) - f(x))/h 并化简。

Step-by-step solution

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   先把差商写出来。 因为 $f(x+h) = \sqrt{5(x+h)+1} = \sqrt{5x+5h+1}$，所以

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h}$

   此时还什么都约不掉：$h$ 被埋在根号里面，没法直接从分子中提出来。

2. 2

   分子分母同乘分子的共轭式。 这是处理两个平方根之差的标准做法：

   $\frac{\sqrt{5x+5h+1} - \sqrt{5x+1}}{h} \cdot \frac{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

   以这种形式乘以 $1$，不改变式子的值，却把根号挪到了分母上。

3. 3

   对分子用 (A − B)(A + B) = A² − B²。 平方根随之消失：

   $\left(5x+5h+1\right) - \left(5x+1\right) = 5h$

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   把 h 约掉。

   $\frac{5h}{h\left(\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}\right)} = \frac{5}{\sqrt{5x+5h+1} + \sqrt{5x+1}}$

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   数值验证并取极限。 取 $x = 1.3$、$h = 0.07$：直接算差商得 $0.9024623$，公式给出 $\tfrac{5}{\sqrt{7.85}+\sqrt{7.5}} = 0.9024623$。当 $h \to 0$ 时两个根号都变成 $\sqrt{5x+1}$，于是得到 $\tfrac{5}{2\sqrt{5x+1}}$ —— 正是 $\sqrt{5x+1}$ 的导数。