解方程组 x⁴ + y⁴ = 82 与 xy = 3。

Step-by-step solution

1. 1

   先搭一座通向低次对称式的桥。 恒等式

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

   让我们只借助题目同样给出的 $xy$，就能把已知的四次方转化掉。这是处理对称方程组的标准路线：从 $4$ 次一路降到 $2$ 次。

2. 2

   算出 x² + y²。

   $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=82+2(3)^{2}=82+18=100$

   对实数 $x,y$ 恒有 $x^{2}+y^{2}\ge 0$，所以只能取正根：

   $x^{2}+y^{2}=10$

3. 3

   求出 x + y 与 x − y。

   $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=10+6=16\ \Longrightarrow\ x+y=\pm 4$

   $(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy=10-6=4\ \Longrightarrow\ x-y=\pm 2$

4. 4

   组合各种符号取法，只留下自洽的数对。 由 $x+y=4$：配 $x-y=2$ 得 $(3,1)$，配 $x-y=-2$ 得 $(1,3)$。由 $x+y=-4$：得 $(-1,-3)$ 与 $(-3,-1)$。

   $\boxed{(x,y)=(3,1),\ (1,3),\ (-1,-3),\ (-3,-1)}$

5. 5

   每一组都代回两个方程检验。 对 $(3,1)$：$81+1=82$ ✓ 且 $3\cdot 1=3$ ✓。对 $(-1,-3)$：$1+81=82$ ✓ 且 $(-1)(-3)=3$ ✓。另外两组由对称性 $x\leftrightarrow y$ 和 $(x,y)\to(-x,-y)$ 得到，这两种变换都不改变方程组。

6. 6

   说明为什么符号必须一致。 因为 $xy=3>0$，$x$ 与 $y$ 必须同号——这正是 $x+y=4$ 只能配 $x-y=\pm 2$、永远产生不出异号解的原因。像 $(3,-1)$ 这样的候选一定过不了 $xy=3$ 这一关。