展开并化简 (7x² + 7x − 5)(5x² − 4x + 2)。

Step-by-step solution

1. 1

   动手之前先安排好记账方式。 两个三项式相乘会产生 $3\times3=9$ 个部分积。一次拿左边的一项去乘遍右边（而不是只适用于二项式的 FOIL），才能保证九项一个不落。

2. 2

   先分配首项 $7x^{2}$。

   $7x^{2}\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{4}-28x^{3}+14x^{2}$

3. 3

   再分配中间项 $7x$。

   $7x\left(5x^{2}-4x+2\right)=35x^{3}-28x^{2}+14x$

4. 4

   最后分配常数项 $-5$，它的符号要带到每一项上。

   $-5\left(5x^{2}-4x+2\right)=-25x^{2}+20x-10$

5. 5

   按次数合并同类项。 把这九项按次数归堆：

   $x^{4}:\ 35x^{4}$
   $x^{3}:\ -28x^{3}+35x^{3}=7x^{3}$
   $x^{2}:\ 14x^{2}-28x^{2}-25x^{2}=-39x^{2}$
   $x^{1}:\ 14x+20x=34x$
   $x^{0}:\ -10$

6. 6

   用数值检验展开结果。 把因式形式和展开形式在 $x$ 从 $-6$ 到 $6$ 的每个整数处求值，$13$ 个点的值全都一致 —— 而确定一个四次多项式只需要 $5$ 个点，所以各项系数都没写错。（快速验一个：$x=1$ 时 $(7+7-5)(5-4+2)=9\cdot3=27$，而 $35+7-39+34-10=27$。）