计算并化简：(x² − 2x + 1)/(x² + 2x − 3) × (x² + 3x)/(x² + 2x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先分解，后相乘。 如果一上来就把分子分母各自乘开，会得到两个四次式，接着还得重新分解回去。先分解则能趁着各部分还很小的时候就把该约的都约掉。

2. 2

   把四个二次式分别分解。

   $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},\qquad x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$

   $x^{2}+3x=x(x+3),\qquad x^{2}+2x=x(x+2)$

3. 3

   用分解后的形式重写这个乘积。

   $\frac{(x-1)^{2}}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{x(x+3)}{x(x+2)}$

4. 4

   跨着两个分式约分。 在乘积里，任何一个分子上的因式都可以与任何一个分母上的因式约掉。于是约掉一个 $(x-1)$、约掉 $(x+3)$、约掉 $x$：

   $\frac{x-1}{1}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$

   $\boxed{\dfrac{x-1}{x+2}}$

5. 5

   记下要排除的值。 只有在被约掉的因式都不为零的地方约分才合法，所以这个恒等式成立的条件是 $x\neq 0$、$x\neq 1$、$x\neq -3$、$x\neq -2$。最后的形式只“看得出” $x\neq -2$ 这一条；另外三条必须从原式一路带过来。

6. 6

   代一个数检验。 取 $x=4$：第一个分式是 $\tfrac{9}{21}=\tfrac37$，第二个是 $\tfrac{28}{24}=\tfrac76$，乘积为 $\tfrac{3}{6}=\tfrac12$。化简后的式子给出 $\tfrac{4-1}{4+2}=\tfrac36=\tfrac12$，两者一致。