当 a 取什么值时，|x − 2| + |x + 3| + |x − 1| + |x + 1| ≥ a 对一切实数 x 都成立？

Step-by-step solution

1. 1

   把问题归结为求最小值。 不等式对一切 $x$ 成立，当且仅当 $a$ 不超过左边所能取到的最小值。于是记

   $f(x)=|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$

   并去求 $\min f$。其余都只是计算而已。

2. 2

   先用中位数这条捷径预判答案。 绝对偏差之和 $\sum|x-c_{i}|$ 在这些点 $c_{i}$ 的任一中位数处取到最小。这里四个点是 $-3,\,-1,\,1,\,2$；点数为偶数，所以中间区间 $[-1,1]$ 里的每个 $x$ 都是中位数。因此最小值在整个 $[-1,1]$ 上取到——不是 $[-3,1]$，这个说法很容易脱口而出，但它是错的。

3. 3

   分区间讨论来确认。 分界点 $-3,-1,1,2$ 把数轴切成五段，在每一段上每个绝对值都按固定的符号展开：

   $x\le-3:\ f=-4x-1;\qquad -3\le x\le-1:\ f=5-2x;$

   $-1\le x\le 1:\ f=7;\qquad 1\le x\le 2:\ f=2x+5;\qquad x\ge 2:\ f=4x+1.$

   在 $[-3,-1]$ 上，函数是递减的直线 $5-2x$，从 $f(-3)=5+6=11$ 降到 $f(-1)=5+2=7$——它在那一段上并不是常数。

4. 4

   读出最小值。 最外侧的两段随着远离中心而上升，与中间相邻的两段朝 $[-1,1]$ 方向下降，而在 $[-1,1]$ 上函数是常数

   $f(x)=(2-x)+(x+3)+(1-x)+(x+1)=7.$

   所以 $\min f=7$，恰好在 $[-1,1]$ 上取到。抽查几点：$f(0)=2+3+1+1=7$ ✓，$f(-2)=4+1+3+1=9$ ✓（严格大于最小值），$f(-3)=5+0+4+2=11$ ✓。

5. 5

   写出对 $a$ 的条件。 不等式 $f(x)\ge a$ 对一切实数 $x$ 成立，当且仅当

   $a\le 7.$

   若 $a>7$，不等式在中间那一整段开区间上都不成立；此时当 $7<a\le 9$ 时，把相邻的两段线性表达式反解，可得解集为 $\left(-\infty,\tfrac{5-a}{2}\right]\cup\left[\tfrac{a-5}{2},\infty\right)$。