把函数 f(x) = |x - 1| + 5 向上平移 4 个单位、向右平移 2 个单位，写出新函数的解析式。

Step-by-step solution

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   从已给的形式里读出顶点。 在 $f(x)=|x-h|+k$ 中顶点是 $(h,k)$，所以 $f(x)=|x-1|+5$ 的拐点在

   $(1,5)$

   两次平移移动的都是这一个点，而 V 形两条边的斜率始终是 $\pm 1$。

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   用 $x\to x-2$ 实现右移 2。

   $\left|(x-2)-1\right|+5=|x-3|+5$

   注意里面的常数从 $1$ 变成了 $3$：向右平移会让 $h$ 变大，尽管在绝对值内部做的操作是减法。

3. 3

   在外面加 4，实现上移 4。

   $|x-3|+5+4=|x-3|+9$

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   写出答案，并确认顶点移对了。

   $f(x)=|x-3|+9,\qquad \text{顶点 }(3,9)$

   从 $(1,5)$ 到 $(3,9)$ 正是右移 $2$、上移 $4$ $\checkmark$——看顶点位移是最干净的一种验证方式。

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   再拿一个非顶点的点核一下。 原函数过 $(0,6)$，因为 $|0-1|+5=6$。把这个点右移 $2$、上移 $4$，预测应落在 $(2,10)$，而新解析式给出 $|2-3|+9=1+9=10\;\checkmark$。另外注意，整条图像现在都在 $y=9$ 及其上方，所以这个函数根本没有 $x$ 轴上的交点。