解方程 x³ − 6x² + 11x − 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   列出可能的有理根。 对整系数首一多项式，任何有理根都必须整除常数项 $-6$：

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$

   这里正的候选更可能中：系数串 $1, -6, 11, -6$ 里全是变号，提示根是正的（笛卡儿符号法则允许有三个或一个正根）。

2. 2

   代入找出第一个根。 试 $x = 1$：

   $1 - 6 + 11 - 6 = 0 \ \checkmark$

   所以 $x = 1$ 是一个根，由因式定理，$(x - 1)$ 恰好整除这个三次式。

3. 3

   用综合除法除掉已知因式。

   $\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array}$

   余数为零既确认了这个根，最后一行也给出了降次后的二次式：

   $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

4. 4

   分解这个二次式。 两数之积为 $6$、之和为 $-5$，即 $-2$ 和 $-3$：

   $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

   所以完整的因式分解是

   $(x-1)(x-2)(x-3) = 0$

5. 5

   用「积为零则至少一个因式为零」并检验。 乘积为零，只可能是某个因式为零，所以

   $x = 1, \quad x = 2, \quad x = 3$

   把它们逐个代回原式：$8 - 24 + 22 - 6 = 0$，$27 - 54 + 33 - 6 = 0$。再进一步核对：由韦达定理，三根之和应为 $-(-6)/1 = 6$，而 $1 + 2 + 3 = 6$；三根之积应为 $-(-6)/1 = 6$，而 $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$。