解方程 2x² − x − 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   首项系数不是 1，所以用 ac 法。 取 $a=2$，$b=-1$，$c=-6$，我们要找两个数，它们的积是 $ac=2\times(-6)=-12$，和是 $b=-1$。只盯着 $c$ 去凑因数对，在这里是凑不出来的。

2. 2

   找出这一对数。 $-12$ 的因数对有 $(1,-12),(2,-6),(3,-4),(4,-3),(6,-2),(12,-1)$；和为 $-1$ 的那一对是 $3$ 与 $-4$，因为 $3+(-4)=-1$ 且 $3\times(-4)=-12$。

3. 3

   拆开中项再分组。

   $2x^2+3x-4x-6=0$

   $x(2x+3)-2(2x+3)=0$

   $(2x+3)(x-2)=0$

   两组里都出现同一个括号 $(2x+3)$，这说明中项拆得没错。

4. 4

   用"两式之积为零"的性质。

   $2x+3=0\Rightarrow x=-\frac32,\qquad x-2=0\Rightarrow x=2$

   $\boxed{x=2\ \text{或}\ x=-\tfrac{3}{2}}$

5. 5

   两个根都检验。 取 $x=2$：$2(4)-2-6=8-8=0$。取 $x=-\tfrac32$：$2\left(\tfrac94\right)+\tfrac32-6=\tfrac92+\tfrac32-6=6-6=0$。两个都满足方程。

6. 6

   用韦达定理再确认一遍。 两根之和应为 $-b/a=\tfrac12$，之积应为 $c/a=-3$。确实 $2+(-\tfrac32)=\tfrac12$，$2\times(-\tfrac32)=-3$，可见没有哪个根的符号写错。