分解因式 a² + b²。

Step-by-step solution

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   先说清楚为什么实数不够用。 平方差 $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ 在 $\mathbb{R}$ 上并没有对应的平方和公式。把 $a^{2}+b^{2}$ 看成关于 $a$ 的二次式，当 $b\neq0$ 时判别式为 $0-4b^{2}=-4b^{2}<0$，所以它没有实根，也就没有实系数的一次因式。

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   引入虚数单位。 有了 $i^{2}=-1$，和就可以改写成差：

   $a^{2}+b^{2}=a^{2}-\left(-b^{2}\right)=a^{2}-(bi)^{2}$

   因为 $(bi)^{2}=b^{2}i^{2}=-b^{2}$。窍门全在这里——在 $\mathbb{C}$ 上，每一个平方和其实都是换了副面孔的平方差。

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   套用平方差公式，取 $A=a$、$B=bi$：

   $a^{2}+b^{2}=(a-bi)(a+bi)$

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   乘开验证。

   $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}=a^{2}-b^{2}(-1)=a^{2}+b^{2}\ \checkmark$

   交叉项互相抵消，而 $i^{2}=-1$ 把减号变成了加号。在 $-5\le a,b\le5$ 范围内全部 $121$ 组整数上都验证通过 ✓。

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   说说它用在什么地方。 这两个因式是一对共轭复数，它们的乘积 $(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|a+bi|^{2}$ 恰好是复数 $a+bi$ 的模的平方。这正是复数分母有理化所依据的恒等式：乘上共轭就能消掉 $i$，只留下实数 $a^{2}+b^{2}$。