已知 x > 0，用根式相除法则化简 √(48x¹²) / √(2x)。

Step-by-step solution

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   先合并两个根号，别急着各自化简。 相除法则是

   $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}\quad (A\ge 0,\ B>0),$

   在这道题里，它比分别化简 $\sqrt{48x^{12}}$ 和 $\sqrt{2x}$ 省事得多。条件 $x>0$ 的作用正是保证两个被开方式都非负、并且分母不为零。

2. 2

   在同一个根号里相除。 数字和幂分开处理：

   $\frac{48}{2}=24,\qquad \frac{x^{12}}{x^{1}}=x^{11}\ \Longrightarrow\ \sqrt{\frac{48x^{12}}{2x}}=\sqrt{24x^{11}}.$

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   拆出最大的完全平方因子。 系数方面，$24=4\cdot 6$，其中 $4=2^2$。字母方面，不超过 $11$ 的最大偶次幂是 $10$，所以 $x^{11}=x^{10}\cdot x$，而 $x^{10}=(x^5)^2$：

   $\sqrt{24x^{11}}=\sqrt{4\cdot 6\cdot x^{10}\cdot x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x^{10}}\cdot\sqrt{6x}.$

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   把能开出来的都开出来。 因为 $x>0$，不需要加绝对值符号：

   $2\cdot x^{5}\cdot\sqrt{6x}=2x^{5}\sqrt{6x}.$

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   确认已经最简、并验算。 剩下的根号里，$6=2\cdot 3$ 不含平方因子，$x$ 也只是一次，再没有东西能开出来了。取 $x=2$ 验算：$\sqrt{48\cdot 4096}/\sqrt{4}=\sqrt{196608}/2=221.7025$，而 $2(32)\sqrt{12}=64(3.4641)=221.7025$，两者一致。