解三次方程 x³ − 3x + 2 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先找有理根。 按有理根定理，任何有理根都要整除常数项 $2$，所以候选只有 $\pm1,\pm2$。试 $x=1$：

   $1-3+2=0\ \checkmark$

   所以 $x=1$ 是根，$(x-1)$ 是因式。注意原式缺 $x^2$ 项，意味着它的系数是 $0$ —— 做除法时这个占位的零必须带上。

2. 2

   用综合除法除以 (x - 1)。 系数依次是 $1,\ 0,\ -3,\ 2$，除式的根是 $1$：

   $1\ \to\ 0+1=1\ \to\ -3+1=-2\ \to\ 2-2=0$

   最后那个 $0$ 是余数，说明根没找错；商是 $x^2+x-2$：

   $x^3-3x+2=(x-1)\left(x^2+x-2\right)$

3. 3

   把二次因式分解。 积为 $-2$、和为 $+1$ 的两个数是 $+2$ 和 $-1$：

   $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

4. 4

   把重复的因式收拢。 因式 $(x-1)$ 出现了两次：

   $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$

   这就是二重根的标志 —— 应当明确说出来，而不是把 $x=1$ 写两遍、好像它是两个不同的答案。

5. 5

   把解读出来。

   $x=1\ \text{（重数 2）},\qquad x=-2$

   三次方程按重数计有三个根，这里正好把它们全都数完了。

6. 6

   从图像上理解这个二重根。 在重数为偶数的根处，曲线只碰到坐标轴而不穿过去：$x=1$ 是 $f(x)=x^3-3x+2$ 的一个极小值点（确实在 $x=1$ 处有 $f'(x)=3x^2-3=0$，所以 $f$ 与 $f'$ 在那里同时为零）。而在 $x=-2$ 处，图像是正常穿过的。

7. 7

   验证分解式和两个根。 把 $x^3-3x+2$ 与 $(x-1)^2(x+2)$ 在 $-40$ 到 $39$ 的每一个整数上比对，结果完全一致 ✓；把 $x=1$ 和 $x=-2$ 分别代回，都恰好得到 $0$ ✓。韦达定理也对得上：三根之和 $1+1-2=0=-b/a$ ✓。