解方程 x³ − 0.016875x² + 0.000094921875x − 1.77975547e−7 = 0。

Step-by-step solution

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   先试试前三项是不是一个完全立方。 对照 $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$，由 $x^2$ 的系数得 $3a=0.016875$，即 $a=0.005625$。再验一次项：$3a^2=3(0.005625)^2=3(0.000031640625)=0.000094921875$——完全吻合。这不是巧合，方程本来就是用一个平移的立方造出来的。

2. 2

   把方程改写成「纯立方 + 常数」。 因为 $a^3=(0.005625)^3=1.77978515625\times10^{-7}$，

   $x^3-0.016875x^2+0.000094921875x=(x-0.005625)^3+a^3$

   于是方程变成

   $(x-0.005625)^3=1.77975547\times10^{-7}-1.77978515625\times10^{-7}=-2.968625\times10^{-12}$

3. 3

   取实立方根。 一个实数恰好只有一个实立方根，所以

   $x-0.005625=-\sqrt[3]{2.968625\times10^{-12}}=-1.4372041\times10^{-4}$

   $x=0.005625-0.00014372=0.00548128$

   负号之所以保留下来，是因为等式右边本来就是负的。

4. 4

   再交代另外两个根。 剩下两根来自单位的复立方根，即 $x=a+r\,e^{\pm 2\pi i/3}$，其中 $r=-1.4372041\times10^{-4}$：

   $x\approx 0.00569686\pm 0.00012447\,i$

   所以这个三次方程有一个实根和一对共轭复根——它并没有实重根；从判别式也能看出这一点，$(x-a)^3=c$ 只有在 $c=0$ 时才有三重根。

5. 5

   把实根直接代回验证。 取 $x=0.005481279590$：$x^3=1.6468\times10^{-7}$，$-0.016875x^2=-5.0700\times10^{-7}$，$+0.000094921875x=5.2029\times10^{-7}$，$-1.77975547\times10^{-7}$。加起来是 $-1.3\times10^{-20}$，在机器精度下就是零 ✓。而如果换成常被引用的 $0.0056808311$，残差约在 $10^{-12}$ 量级，说明那个值并不是根。