已知 f(x) = 5x + 2，g(x) = x − 6，求 (f − g)(x) 并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   先写出两个函数相减的定义。 按定义

   $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

   减号作用的是 $g$ 的整个输出，所以下一步必须加括号。

2. 2

   代入时把 g 用括号括起来。

   $(f-g)(x)=(5x+2)-(x-6)$

   漏掉这对括号是最常见的错误，那样会写成 $5x+2-x-6$，是错的。

3. 3

   把减号分配进去。 它会改变括号内每一项的符号：

   $5x+2-x+6$

4. 4

   合并同类项。 含 $x$ 的项给出 $5x-x=4x$；常数项给出 $2+6=8$：

   $(f-g)(x)=4x+8$

   $\boxed{4x+8}$

5. 5

   取一个值验算。 当 $x=3$：$f(3)=17$，$g(3)=-3$，于是 $f(3)-g(3)=17-(-3)=20$；而 $4(3)+8=20$。两者相符，说明符号处理无误。另外注意 $4x+8=4(x+2)$，所以这个差函数只有一个零点 $x=-2$。