解方程 2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0。它有几个实根，分别是多少？

Step-by-step solution

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   先把有理根排除掉。 候选根形如 $\pm\frac{p}{q}$，其中 $p\mid 300$、$q\mid 2$。记 $f(x)=2x^{3}+33x^{2}+180x-300$，把几个看起来靠谱的小数逐一代入：

   $f(1)=2+33+180-300=-85,\quad f(2)=16+132+360-300=208,$

   $f(-5)=-250+825-900-300=-625,\quad f(-10)=-2000+3300-1800-300=-800.$

   没有一个为零，其余候选也同样不行，所以这个三次式在有理数域上不可约，靠观察是分解不出来的。

2. 2

   用判别式数清实根个数。 对 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$，判别式为

   $\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}=-42{,}120{,}000.$

   因为 $\Delta<0$，所以恰好有一个实根，外加一对共轭复根。这在动手做任何数值计算之前，就把「有几个」这个问题解决了——把 $f$ 在 $[-100,20]$ 上扫一遍，确实只出现一次变号，位置在 $x=1.32$ 附近。

3. 3

   先框住实根，再二分逼近。 由 $f(1)=-85<0$、$f(2)=208>0$ 可知根落在 $(1,2)$ 内。不断对半分、每次保留发生变号的那一半，收敛到

   $x\approx 1.321083731.$

   检验：$f(1.321083731)\approx+4.4\times10^{-8}$ ✓。若只报 $1.32$ 这样的粗略值，$f\approx-0.30$，所以当这个根还要参与后续计算时，多留几位是有意义的。

4. 4

   用卡尔达诺公式求精确值。 作代换 $x=t-\frac{b}{3a}=t-\frac{11}{2}$ 消去二次项，得到 $t^{3}+pt+q=0$，其中

   $p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}=-\frac34,\qquad q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=-\frac{1249}{4}.$

   由于 $\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}=\frac{1560001}{64}-\frac{1}{64}=24375$，而 $\sqrt{24375}=25\sqrt{39}$，卡尔达诺公式给出

   $x=\sqrt[3]{\frac{1249}{8}+25\sqrt{39}}+\sqrt[3]{\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}}-\frac{11}{2}.$

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   用高精度验证这个闭式。 以 60 位精度计算该表达式，得到

   $x=1.32108373084131024332679\ldots,$

   代回原方程得 $f(x)\approx 2\times10^{-53}$ ✓。注意第二个立方根里的数极小，$\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}\approx 5.004\times10^{-5}$，所以拿普通浮点数去算这个闭式会损失精度——实际使用时，报二分法得到的那个数值更稳妥。