解方程 71 × 8 = 71(8.9 − x) − x · √((8.9 − x)² − 64)，求 x。

Step-by-step solution

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   换元 $u=8.9-x$，让被开方式能分解。 表达式 $(8.9-x)^2-64$ 对 $u$ 来说是一个平方差。取 $u=8.9-x$（于是 $x=8.9-u$，且 $71\cdot 8=568$），方程变成

   $568=71u-(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$

   $71(u-8)=(8.9-u)\sqrt{(u-8)(u+8)}$

   把 $568$ 写成 $71\cdot 8$，左边才提得出因式——这就是这个方程会有一个干净根的全部原因。

2. 2

   确定定义域，顺手排掉一支。 根号要求 $u^2\ge 64$，即 $u\ge 8$ 或 $u\le -8$。

   若 $u\le -8$，左边 $71(u-8)$ 为负，而右边 $(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$ 是一个正因子 $8.9-u>0$ 乘一个非负的根式，所以右边 $\ge 0$。这一支没有解——同时也排除了所有 $x\ge 16.9$。

   于是只剩 $u\ge 8$，即 $x\le 0.9$。在这一支上左边 $\ge 0$，所以还需要 $x=8.9-u\ge 0$：搜索范围收窄到 $0\le x\le 0.9$。

3. 3

   令 $w=u-8\ge 0$，把边界根直接读出来。 此时 $8.9-u=0.9-w$，方程成为

   $71w=(0.9-w)\sqrt{w(w+16)}$

   取 $w=0$ 恰好满足它：两边都是 $0$。这给出 $u=8$，以及

   $x=8.9-8=0.9$

   代回原方程检验：$71(8.9-0.9)-0.9\sqrt{8^2-64}=568-0=568$。✓ 这个根是纯数值求解器最容易漏掉的一个，因为它正好落在根号刚刚「开启」的定义域边缘上。

4. 4

   对 $w>0$ 的情形平方，再把因子 $w$ 除掉。 平方得 $5041w^2=(0.9-w)^2w(w+16)$，再除以 $w>0$：

   $5041w=(w^2-1.8w+0.81)(w+16)=w^3+14.2w^2-27.99w+12.96$

   $w^3+14.2w^2-5068.99w+12.96=0$

   它的三个根是 $w\approx -78.6511$、$w\approx 0.00255674$ 和 $w\approx 64.4486$。只有那个很小的正根满足 $0<w<0.9$；另外两个会让 $0.9-w$ 为负而 $71w$ 为正（或者反过来），所以它们是平方引入的增根。

5. 5

   换回原变量，并对两个答案做数值验证。 由 $x=0.9-w$：

   $x=0.9-0.0025567407\ldots=0.8974432593\ldots$

   代回原方程得 $71(8.0025567)-0.8974433\sqrt{8.0025567^2-64}=568.0000000$，残差在机器精度内为 $0$。连同那个边界根一起：

   $x=0.9\qquad\text{和}\qquad x\approx 0.8974432593$

6. 6

   为什么流传的那个捷径答案 $x\approx 0.797$ 是错的。 常见做法是先平方，再试着把四次式 $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$ 分解成 $(x^2+63.2x-63.9)(x^2-81x+63.9)$。可把这个乘积展开后，$x^2$ 的系数是 $-5119.2$，而不是 $-5025.79$，所以这个分解根本就是假的，它给出的 $0.7968$ 和 $0.9954$ 都不是根。把 $x=0.7968$ 代回原方程得到大约 $574.30$，而不是 $568$；而配对的 $0.9954$ 连定义域都不在，因为 $(8.9-0.9954)^2-64\approx -1.52<0$。