函数 f 由 f(x) = ax² + bx + c 给出，其中 a、b、c 是常数。方程 f(x) = 0 的解是 x = 1 和 x = −7。若 a 是大于 1 的整数，则对每个这样的函数 f 都有 a + b ≥ n。求常数 n 的最大可能值。

Step-by-step solution

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   先把两个根写成因式形式。 一个二次函数由它的根唯一确定，至多相差一个倍数。因为 $f(1)=0$ 且 $f(-7)=0$，所以 $(x-1)$ 和 $(x+7)$ 都是 $f$ 的因式，于是

   $f(x)=a(x-1)(x+7)$

   其中的常数 $a$ 就是 $ax^{2}+bx+c$ 里的那个二次项系数，因为乘积 $(x-1)(x+7)$ 的首项系数是 $1$。

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   展开，把 $b$ 用 $a$ 表示出来。

   $f(x)=a\left(x^{2}+6x-7\right)=ax^{2}+6ax-7a,$

   对比系数得 $b=6a$，$c=-7a$。现在只剩 $a$ 这一个未知量在起作用。

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   把要估计的那个量写出来。

   $a+b=a+6a=7a.$

   于是「若 $a+b\ge n$ 恒成立，$n$ 最大能取多少？」其实就是在问「$7a$ 最小能是多少？」

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   在 $a$ 的允许取值里求最小值。 约束是 $a$ 为大于 1 的整数，所以可取的值是 $a=2,3,4,\dots$，其中最小的是 $a=2$。（这里 $a\ne 0$ 自动成立——二次函数的首项系数本来就不能为零。）因此 $a+b$ 的最小值是

   $7(2)=14.$

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   把最小值转化成答案。 不等式 $a+b\ge n$ 必须对每一个满足条件的 $f$ 都成立，所以 $n$ 至多等于 $a+b$ 所能取到的最小值。这个最小值 $14$ 是取得到的（当 $a=2$ 时 $f(x)=2x^{2}+12x-14$），所以 $n=14$ 可行，而比它更大的都不行：

   $n_{\max}=14.$