证明 x = 2 是 (x² − 4x + 5)(2x² − 8x + 9) = 1 的根，且方程没有其它根。

Step-by-step solution

1. 1

   先直接验证 x = 2。

   $4-8+5=1,\qquad 8-16+9=1$

   所以乘积是 $1\cdot 1=1$ ✓。

2. 2

   对第一个因式配方。 两个因式的顶点都落在同一个位置 $x=2$，这正是整套论证能成立的关键：

   $x^{2}-4x+5=(x-2)^{2}+1$

3. 3

   对第二个因式配方。

   $2x^{2}-8x+9=2\left(x^{2}-4x\right)+9=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+9=2(x-2)^{2}+1$

4. 4

   把两个因式都从下方卡到 1。 因为对一切实数 $x$ 都有 $(x-2)^{2}\ge 0$，

   $x^{2}-4x+5\ge 1,\qquad 2x^{2}-8x+9\ge 1$

   而且两处取等号都只在 $x=2$ 时发生。

5. 5

   用乘积论证收尾。 两个都 $\ge 1$ 的实数，乘积必然 $\ge 1$；而乘积恰好等于 $1$，只可能是两者同时等于 $1$。于是方程迫使 $(x-2)^{2}=0$：

   $\boxed{x=2\text{ 是唯一实根}}$

6. 6

   换元再验一遍。 令 $u=(x-2)^{2}\ge 0$，方程就变成 $(u+1)(2u+1)=1$，即 $2u^{2}+3u=0$，即 $u(2u+3)=0$。只有 $u=0$ 是可取的，对应 $x=2$ ✓。数值上看，$x=3$ 时左边是 $(2)(3)=6>1$，$x=1$ 时也是 $(2)(3)=6>1$，说明最小值确实就落在 $x=2$。