把 (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) - 5x² 分解因式（分解到不能再分为止）。

Step-by-step solution

1. 1

   把括号两两配对，让常数项对上。 四个因式分成两对共有三种分法，有用的那种要让两个乘积的常数项相同。因为 $(-1)(6)=-6$、$(-2)(3)=-6$，所以第一个与第四个配对、第二个与第三个配对：

   $(x-1)(x+6)=x^{2}+5x-6,\qquad (x-2)(x+3)=x^{2}+x-6.$

   换成别的配法，会得到两个常数项不同的二次式，就没有共同结构可以利用了。

2. 2

   给公共部分换个元。 两个二次式里都含有 $x^{2}+x-6$，因为

   $x^{2}+5x-6=\left(x^{2}+x-6\right)+4x.$

   令 $y=x^{2}+x-6$，原式就变成

   $(y+4x)\,y-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}.$

   这已经是关于 $y$ 和 $x$ 两个量的齐次二次式了——比一般的四次式好对付得多。

3. 3

   分解这个关于 $y$ 的二次式。 找两个数，乘积是 $-5x^{2}$、和是 $4x$：它们是 $5x$ 和 $-x$。于是

   $y^{2}+4xy-5x^{2}=(y+5x)(y-x).$

   马上就能验证：$(y+5x)(y-x)=y^{2}-xy+5xy-5x^{2}=y^{2}+4xy-5x^{2}$ ✓。

4. 4

   把 y 换回去。 在每个因式里把 $y=x^{2}+x-6$ 代回：

   $y+5x=x^{2}+x-6+5x=x^{2}+6x-6,\qquad y-x=x^{2}+x-6-x=x^{2}-6.$

   因此

   $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)-5x^{2}=\left(x^{2}+6x-6\right)\left(x^{2}-6\right).$

5. 5

   检验，并顺带看看根。 在 $x=1.7$ 处做数值检验：原式得 $-22.0499$，分解式也得 $-22.0499$ ✓。两个因式在有理数范围内都不可再约：$x^{2}-6$ 的根是 $\pm\sqrt6$，$x^{2}+6x-6$ 的判别式是 $36+24=60$，根为 $-3\pm\sqrt{15}$。四个根全是无理数——这也正是为什么单靠试有理根永远找不出这个分解。