把 x² − 4x + 3 分解因式，并用分解结果解方程 x² − 4x + 3 = 0。

Step-by-step solution

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   先摆出目标形式。 一个能在整数范围内分解的首一二次式可以写成

   $x^2 - 4x + 3 = (x - a)(x - b)$

   把右边展开得到 $x^2 - (a+b)x + ab$，于是两个未知数由两个条件钉死，不必靠猜。

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   读出和与积的条件。 比较系数：

   $a + b = 4, \qquad ab = 3$

   换个说法，对形如 $x^2 + bx + c$ 的式子，你要找乘积为 $c = +3$、和为 $-4$ 的两个数；它们就是 $-1$ 和 $-3$。

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   利用符号迅速缩小搜索范围。 乘积 $+3$ 为正，说明这两个数同号；和 $-4$ 为负，说明两个都必须是负数。$3$ 的负因数对只有 $(-1, -3)$，而确实有 $(-1)(-3) = 3$、$(-1) + (-3) = -4$。于是

   $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$

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   展开检验这个分解。

   $(x - 1)(x - 3) = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3 \ \checkmark$

   中间那个系数来自 $-3x$ 和 $-x$ 两个交叉项；正是这一步展开，让「你到底是怎么凑出来的」有了答案。

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   用零因子性质求解。 乘积等于零，当且仅当其中某个因式为零：

   $(x - 1)(x - 3) = 0 \ \Longrightarrow \ x - 1 = 0 \ \text{或} \ x - 3 = 0$

   $x = 1 \quad \text{或} \quad x = 3$

   回代检验：$1 - 4 + 3 = 0$，$9 - 12 + 3 = 0$。用求根公式也得到同一对解，$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$。