用 x^2 + 2x - 3 去除 x^3 + x + 1，求商和余式。

Step-by-step solution

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   先看出这里用不了综合除法。 综合除法只是 $x-c$ 这种形式除式的简便算法，也就是要求次数为 $1$ 且首项系数为 $1$。本题除式 $x^2+2x-3$ 次数是 $2$，所以必须用通用算法——多项式长除法。把被除式按降幂补全每一项：

   $x^3+0\cdot x^2+x+1$

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   用首项相除得到商的第一项。 拿 $x^3$ 和 $x^2$ 比：

   $\frac{x^3}{x^2}=x$

   把整个除式乘以 $x$ 再相减：

   $x^3+0x^2+x+1-\left(x^3+2x^2-3x\right)=-2x^2+4x+1$

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   对新的首项重复这一步。 现在拿 $-2x^2$ 和 $x^2$ 比：

   $\frac{-2x^2}{x^2}=-2$

   把除式乘以 $-2$ 再相减：

   $-2x^2+4x+1-\left(-2x^2-4x+6\right)=8x-5$

   减去一个负数正是符号出错最集中的地方：$4x-(-4x)=8x$，$1-6=-5$。

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   次数低于除式就停。 当前剩下的 $8x-5$ 次数是 $1$，已经低于除式的次数 $2$，算法到此结束：

   $\text{商}=x-2,\qquad \text{余式}=8x-5$

   注意余式是一个多项式而不是一个数——只要除式次数大于等于 $2$，这就是正常现象。

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   写出结果并验算。

   $\frac{x^3+x+1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac{8x-5}{x^2+2x-3}$

   乘回去检验：$(x^2+2x-3)(x-2)=x^3-2x^2+2x^2-4x-3x+6=x^3-7x+6$，再加上余式，$x^3-7x+6+(8x-5)=x^3+x+1\;\checkmark$。

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   再用因式分解交叉验证一次。 由于 $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$，可以把余式 $8x-5$ 拿到除式的两个根上验证。当 $x=1$：被除式给出 $1+1+1=3$，余式给出 $8-5=3\;\checkmark$。当 $x=-3$：被除式给出 $-27-3+1=-29$，余式给出 $-24-5=-29\;\checkmark$。两个点的值对上了，就完全确定了这个 $1$ 次余式。