化简 x² − 3(x/2 + √5)²。

Step-by-step solution

1. 1

   先算括号的平方——乘方比前面的 3 结合得更紧。 用 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，取 $a=\frac{x}{2}$、$b=\sqrt5$：

   $a^2=\frac{x^2}{4},\qquad 2ab=2\cdot\frac{x}{2}\cdot\sqrt5=x\sqrt5,\qquad b^2=(\sqrt5)^2=5$

   于是 $\left(\frac{x}{2}+\sqrt5\right)^2=\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5$。注意 $b^2=5$ 是精确的——平方把根号消掉了。

2. 2

   把整个平方式乘 3。

   $3\left(\frac{x^2}{4}+x\sqrt5+5\right)=\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15$

   三项每一项都要乘 3，带根号的那项也不例外。

3. 3

   相减，并把负号分配到三项上。

   $x^2-\left(\frac{3x^2}{4}+3x\sqrt5+15\right)=x^2-\frac{3x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

   丢符号一般就丢在这里；中间项和最后一项都要变成负的。

4. 4

   合并 $x^2$ 的项。

   $x^2-\frac{3x^2}{4}=\frac{4x^2-3x^2}{4}=\frac{x^2}{4}$

   所以化简后的式子是

   $\frac{x^2}{4}-3x\sqrt5-15$

5. 5

   取 $x=2$ 检验。 原式为 $4-3\left(1+\sqrt5\right)^2=4-3\left(6+2\sqrt5\right)=4-18-6\sqrt5=-14-6\sqrt5\approx -27.416$。答案给出 $1-6\sqrt5-15=-14-6\sqrt5\approx -27.416$ ✓（这里用到 $3\sqrt5\approx 6.7082$）。