解不等式 (x² − 4x + 3)/(x² − 9) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分子和分母都分解掉。

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3)$

   于是不等式成为

   $\frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}\le0$

2. 2

   约分之前，先把定义域记下来。 分母在 $x=3$ 和 $x=-3$ 处为零，所以这两个点从一开始就要排除：

   $x\neq3,\qquad x\neq-3$

   这一条必须先写下来，因为下一步会让 $x=3$ 从视野里消失。

3. 3

   约掉公因式，但把排除条件留住。 当 $x\neq3$ 时，共有的 $(x-3)$ 可以约去：

   $\frac{x-1}{x+3}\le0\qquad(x\neq3,\ x\neq-3)$

   这次约分在 $x=3$ 处造出的是一个可去的空心点，而不是变号点——原函数在那里根本没有值，化简后的函数却有。忘掉这一点正是本题的标准陷阱。

4. 4

   找出化简后分式的临界点，再逐段试算。 它们是 $x=1$（分子零点）和 $x=-3$（分母零点）。取 $x=-4$：$\tfrac{-5}{-1}=5>0$。取 $x=0$：$\tfrac{-1}{3}<0$。取 $x=2$：$\tfrac{1}{5}>0$。所以只有 $(-3,1)$ 上是负的。

5. 5

   定端点。 在 $x=1$ 处分式等于 $0$，而 $\le0$ 把零算进来，所以 $x=1$ 要取。在 $x=-3$ 处表达式无定义，所以它不取。至于 $x=3$，虽然它本来就落在 $(-3,1]$ 之外，但依旧被定义域排除——把这一点说出来，推理才算完整。

6. 6

   写出答案并验证。

   $x\in(-3,1]$

   用精确分数在 $[-10,10]$ 上取 $4001$ 个有理点，代入未化简的原分式求值（跳过 $x=\pm3$），不等式成立的点恰好就是 $(-3,1]$ 中的点 ✓。