解不等式 2^x/(2^x − 3) + (2^x + 1)/(2^x − 2) + 5/(4^x − 5·2^x + 6) ≤ 0。

Step-by-step solution

1. 1

   换元 $t=2^x$，并把 $4^x$ 改写。 因为 $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2$，整个式子就变成关于 $t$ 的分式不等式：$\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}\le 0$，其中 $t>0$，因为 $2^x$ 恒为正。

2. 2

   把第三个分母分解，让三项共用同一个分母。 $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$，正好就是前两个分母的乘积。因此定义域要排除 $t=2$ 和 $t=3$。

3. 3

   通分到 $(t-2)(t-3)$。 分子为 $t(t-2)+(t+1)(t-3)+5=(t^2-2t)+(t^2-2t-3)+5=2t^2-4t+2$，于是不等式变成 $\frac{2t^2-4t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0$。

4. 4

   看出分子是完全平方。 $2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1)^2$，它永远不会是负的。这一个观察就决定了整道题：这个商要 $\le 0$，只能是分子为零，或者分母为负。

5. 5

   分两种情况处理。 分子为零给出 $t=1$，此时 $(1-2)(1-3)=2\neq 0$，所以 $t=1$ 是合法解。分母为负意味着 $(t-2)(t-3)<0$，即 $2<t<3$。合起来就是：$t=1$ 或 $2<t<3$。

6. 6

   换回 $x$。 $t=1$ 就是 $2^x=1$，即 $x=0$。而 $2<2^x<3$ 给出 $1<x<\log_2 3\approx 1.585$，这里用到 $2^x$ 单调递增且 $2^1=2$。

7. 7

   验证那个孤立点。 当 $x=0$ 时，$\frac{1}{1-3}+\frac{2}{1-2}+\frac{5}{1-5+6}=-\tfrac12-2+\tfrac52=0$，满足非严格不等式，说明 $x=0$ 确实是一个孤立的解，而不是多出来的增根。