解方程：x(−5x + 250) = 2625，求 x。

Step-by-step solution

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   先认出它的结构。 像 $x(-5x+250)$ 这样的乘积是经典的收入模型或面积模型：卖出 $x$ 件，而单价随 $x$ 上升而下降。令它等于 $2625$，问的就是哪两个数量能达到这个目标 —— 预期会有两个答案，在峰值两侧各一个。

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   展开，并把所有项移到一边。

   $-5x^2+250x=2625\qquad\Longrightarrow\qquad -5x^2+250x-2625=0$

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   除以 -5，把二次项系数化成 1。 正是这一步把难看的数字变成可分解的。给一个方程（不是不等式）除以负数没有任何风险：

   $x^2-50x+525=0$

   注意 $250/(-5)=-50$，$-2625/(-5)=+525$ —— 两个符号都翻转了。

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   分解这个首一二次式。 要找两个数，积为 $+525$、和为 $-50$，两者必须都是负数。由于 $525=3\cdot5^2\cdot7$，候选数对是 $(1,525),(3,175),(5,105),(7,75),(15,35),(21,25)$，而 $15+35=50$：

   $x^2-50x+525=(x-15)(x-35)$

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   用零因子法则。

   $x-15=0\Rightarrow x=15,\qquad x-35=0\Rightarrow x=35$

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   把两个解都代回原方程验证。 当 $x=15$：$15(-75+250)=15\times175=2625$ ✓。当 $x=35$：$35(-175+250)=35\times75=2625$ ✓。再做一次结构性检查：两根之和为 $50=-b/a$、之积为 $525=c/a$ ✓，而它们的中点 $25$ 正是抛物线取到峰值 $25\times125=3125$ 的地方 —— 稳稳高于 $2625$，这也是存在两个解的必要条件。