解方程 4.9725x + 0.68175 = 15。

Step-by-step solution

1. 1

   先把加法还原。 含 $x$ 的项是乘出来的，所以常数要先挪走，系数后处理：

   $4.9725x = 15 - 0.68175 = 14.31825$

2. 2

   两边同除系数。

   $x = \frac{14.31825}{4.9725}$

3. 3

   把小数化掉，得到精确值。 分子分母同乘 $100000$，商变成 $\tfrac{1431825}{497250}$。再同除它们的最大公约数 $1275$，得

   $x = \frac{1123}{390}$

   这里做精确运算很重要：这个商是无限循环小数，除法过早取近似，就会得出那个常见但错误的值 $2.8791$。

4. 4

   换成小数。

   $x = \frac{1123}{390} = 2.879487179487\ldots \approx 2.879487$

   循环节是 $487179$，因为 $390 = 2 \times 3 \times 5 \times 13$ 含有 $2$ 和 $5$ 之外的质因数。

5. 5

   代回验算。 $4.9725 \times 2.8794871795 = 14.31825000$，再加 $0.68175$ 正好是 $15$。若改用取整后的 $2.8791$，则得 $14.316325 + 0.68175 = 14.998075$，差了将近 $2 \times 10^{-3}$。