解不等式 3/(x − 1) > x + 4。

Step-by-step solution

1. 1

   不要给两边同乘 $x-1$。 它的符号是未知的——$x>1$ 时为正，$x<1$ 时为负——同乘之后，数轴的一半要变号、另一半不变。稳妥的路子是把所有项移到一边，让一个分式与零比较：

   $\frac{3}{x-1}-(x+4)>0$

2. 2

   通分合并成一个分式。 展开 $(x+4)(x-1)=x^{2}+3x-4$：

   $\frac{3-(x^{2}+3x-4)}{x-1}=\frac{-x^{2}-3x+7}{x-1}>0$

   再把两边同乘 $-1$，让分子的最高次项系数变正，这一步会让不等号反向：

   $\frac{x^{2}+3x-7}{x-1}<0$

3. 3

   把所有临界点都找出来——分子的零点和分母的零点。 分子用求根公式：

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}\approx-4.5414,\;1.5414$

   分母在 $x=1$ 处为零。这三个点 $\frac{-3-\sqrt{37}}{2}$、$1$、$\frac{-3+\sqrt{37}}{2}$ 把数轴分成四段。注意 $1$ 恰好夹在两个根之间，确实和它们交错排列。

4. 4

   列符号表。 分子是开口向上的抛物线，只在两根之间为负；分母在 $x<1$ 时为负。商为负，当且仅当分子分母中恰好有一个为负：

   $\begin{array}{c|c|c|c}\text{区间}&\text{分子}&\text{分母}&\text{商}\\\hline x<-4.5414&+&-&-\;\checkmark\\ -4.5414<x<1&-&-&+\\ 1<x<1.5414&-&+&-\;\checkmark\\ x>1.5414&+&+&+\end{array}$

5. 5

   读出解集，并核对被挖掉的那个点。

   $\left(-\infty,\tfrac{-3-\sqrt{37}}{2}\right)\cup\left(1,\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\right)$

   所有端点都是开的：两个根处只取到等号（而原式是严格不等号），而 $x=1$ 是被彻底排除的，因为原来的分式在那里根本没有定义。在 $[-10,6]$ 上取 $8000$ 个点代回原不等式抽样，结果与这个集合处处吻合 ✓。再单独验一下 $x=2$：$\frac{3}{1}=3$ 对比 $6$，$3>6$ 不成立 ✗，它确实应该被排除在外。