化简 −140 的平方根。

Step-by-step solution

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   第一步先把虚数单位提出来。 由定义 $i=\sqrt{-1}$，所以对 $a>0$：

   $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{-140}=i\sqrt{140}$

   先做这一步，后面每一步都留在实数范围内，通常的根式运算法则才是有效的。

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   找出 $140$ 的最大完全平方因数。 它的质因数分解是 $140=2^2\times 5\times 7$，平方部分是 $4$：

   $140=4\times 35$

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   化简实数部分的根式。

   $\sqrt{140}=\sqrt4\cdot\sqrt{35}=2\sqrt{35}$

   而 $35=5\times 7$ 不含平方因数，再也提不出东西了。

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   把两部分合起来。

   $\sqrt{-140}=2i\sqrt{35}$

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   平方回去检验。 $\left(2i\sqrt{35}\right)^2=4i^2\cdot 35=4(-1)(35)=-140$ $\checkmark$。数值上 $2\sqrt{35}\approx 11.8322$，所以这个值大约是 $11.8322i$。