解不等式 3^x > 500001x。

Step-by-step solution

1. 1

   把它转成对同一个函数的符号判断。 令

   $f(x)=3^x-500001x$

   再找 $f(x)>0$ 的范围。这比用肉眼比较两条图像好得多，因为 $f$ 的结构是我们能精确掌握的。

2. 2

   证明 $f$ 是凸的，从而最多只有两个零点。

   $f'(x)=3^x\ln 3-500001,\qquad f''(x)=3^x(\ln 3)^2>0$

   严格凸函数先减后增，穿过零点最多两次。极小点在 $f'=0$ 处：

   $3^x=\frac{500001}{\ln 3}\approx 455121\quad\Longrightarrow\quad x=\log_3(455121)\approx 11.86$

3. 3

   左半边不用算就能定下来。 当 $x\le 0$ 时左边 $3^x$ 是正的，而 $500001x\le 0$，所以不等式自动成立。取 $x=0$ 读作 $1>0$ $\checkmark$。因此第一个零点必然就在 $0$ 稍右侧。

4. 4

   定位那个很小的根。 在 $0$ 附近 $3^x\approx 1$，所以交点靠近 $x\approx\tfrac{1}{500001}$。在 $\left[10^{-12},0.5\right]$ 上对 $f$ 用二分法得到

   $x_1\approx 2.0000004\times 10^{-6}$

   它左侧 $f$ 为正，右侧为负。

5. 5

   用夹逼定位那个较大的根。 $f(12)=531441-6000012<0$，$f(16)=43046721-8000016>0$，所以第二个交点在 $(12,16)$ 内。二分法给出

   $x_2\approx 14.3704368$

   检验：$3^{14.3704368}\approx 7.1853\times 10^{6}$，而 $500001\times 14.3704368\approx 7.1853\times 10^{6}$，六位有效数字内一致 $\checkmark$。（像 $14.546$ 这样的值不是根：在那里 $3^x\approx 8.714\times 10^6$，而右边是 $7.273\times 10^6$，差了约 $1.44\times 10^6$。）

6. 6

   把解集拼起来。 $f>0$ 出现在两个根的外侧：

   $x<2.0000004\times 10^{-6}\quad\text{或}\quad x>14.3704368$

   顺手抽查中间：取 $x=1$，$3<500001$，不等式确实不成立 $\checkmark$。